Ему стало досадно,и он стал барабанить в запертую дверь ногой и

Ему стало обидно (составное именное сказуемое, первая грамматическая база в трудном сложносочиненном предложении), и он (подлежащее) стал барабанить (составное глагольное сказуемое, 2-ая грамматическая основа) в запертую дверь ногой и шашкой.

Предложение трудное, с двумя грамматическими основами, которые объединяет сочинительный союз "И", означает, предложение сложносочиненное, кроме того, альянс "И" является соединительным. 

Верный вариант: а) сложносочиненное предложение с соединительными союзами.