База предложения: "В художественно школе организовали встречу с мастером живописи"? Организовали

Грамматическая база данного предложения - "организовали". Слово "организовали" является сказуемом, поэтому предложение односоставное (один основной член предложения отсутствует). Односоставное предложения - глагольное (так как присутствует сказуемое), неопределенно-собственное (так как можно подставить местоимение "они": они организовали).

"Организовали встречу" является не основой, а словосочетанием. Организовали (что?) встречу (словосочетание, построенное на базе управления; глагольное, так как основное слово - глагол).