Какой падеж и склонение тропинке

Бежать по тропинке, существительное стоит в форме первого склонения, узнаем это, поставив его в исходную форму - дорожка. Сейчас определим падеж: бежать (по чему) - вопрос дательного падежа. Знаменито, что окончание -е, которое пишется у данного слова, зависит от склонения и падежа, и не считая дательного оно будет употребляться ещё и в предложном падеже: мыслить (о чём?) о тропинке. В родительном же падеже у данного слова будет иное окончание -и, вскоре я теснее не увидел (чего?) тропинки  и пошёл наобум.