Каким членом предложения является выделенный фрагмент? Найти точную дату появления открытки

Подлежащего в первой доли предложения нет.

(Что сделать?) найти - сказуемое (глагол).

Найти (Что?) дату появления открытки - добавленье (имена существительные).

Дату (Какую?) точную - определение (имя прилагательное).

Определить (Как?) сложно - событие (наречие).

(Кто?) народы - подлежащее (имя существительное).

Народы (Что делают?) обретают - сказуемое (глагол).

Народы (Какие?) различные - определение (имя прилагательное).

Обретают (Кого?) прародителей - дополнение (имя существительное).

Обретают (Как?) опираясь на свою историю - развернутое событие (деепричастный оборот).