В каких случаях пишется частица НИ, а в каких НЕ?

Чаще всего выбор меж не и ни зависит от смысла фразы: не  отрицает, ни  усиливает. Давайте осмыслим.

1.Частичка не употребляется для отрицания, к примеру: Не я разговаривал об этом. Я не разговаривал об этом. Я говорил не об этом.
2.Нужно обратить внимание на отдельные случаи употребления этой частички:
а)
При наличии отрицательной частички не и в первой, и во второй доли составного глагольного сказуемого предложение получает утвердительный смысл, например: не могу не упомянуть... (т. е. обязан упомянуть), нельзя не сознаться... (т. е. надобно сознаться).
б)
В вопросительных и восклицательных предложениях частичка не примыкает к местоимениям, наречиям и частичкам, образуя с ними сочетания: как не, кто не, кто только не, где не, где только не, чем не, чего не, чего только не и т. п.; сюда примыкают вопросительные предложения с сочетанием не ли, к примеру:
Ну, как не порадеть родному человечку! (Грибоедов).
Кто не проклинал станционных сторожей, кто с ними не бранивался? (Пушкин).
Чем ты не молодец? (Пушкин).
Где он только не посещал! Чего он только не видал! Чем не работа! Обрыскал свет; не желаешь ли жениться? (Грибоедов).
Да не изволишь ли сенца? (Крылов).
в)
В соединении с союзом пока частичка не употребляется в придаточных предложениях времени, означающих предел, до которого продолжается действие, выраженное сказуемым основного предложения, к примеру: Сиди здесь, пока не приду;
г)
Частичка не входит в состав устойчивых сочетаний: едва ли не, чуток ли не, вряд ли не, означающих предположение, далеко не, никак не, никак не, нисколечко не, совсем не, означающих усиленное отрицание, к примеру: едва ли не наилучший стрелок, чуток ли не в пять часов утра, никак не справедливое решение, совсем не плохой продукт, далековато не надёжное средствo;
д)
Частица не заходит в состав сочинительных союзов: не то; не то не то; не только но; не то что не а; не то чтобы не а, например:
Отдай кольцо и ступай; не то я с тобой сделаю то, чего ты не ждёшь (Пушкин).
Наверху за потолком кто-то не то стонет, не то смеётся (Чехов).
У партизан были не только винтовки, но и пулемёты (Ставский).
3.Частичка ни употребляется для усиления отрицания, к примеру:
Ни косточкой нигде не мог я поживиться (Крылов).
На небе сзади не было ни 1-го просвета (Фадеев).
Метелица даже ни разу не поглядел на спрашивающих (Фадеев).
В деревне сейчас ни души: все в noлe (Фадеев).
Циклическая частица ни приобретает значение союза, к примеру:

Нигде не было видно ни воды, ни деревьев (Чехов).
Ни музы, ни труды, ни радости досуга ничто не поменяет единственного друга (Пушкин).
Но толпы бегают, не примечая ни его, ни его тоски (Чехов).
Я не знаю ни кто вы, ни кто он (Тургенев).
Необходимо направить внимание на отдельные случаи потребления частицы ни:

а) Частичка ни употребляется перед сказуемым в придаточных предложениях для усиления утвердительного смысла, к примеру:
Подчиняйтесь его во всем, что ни отдаст приказ (Пушкин).
Не мог он ямба от хорея, как мы ни бились, отличить (Пушкин).
Куда ни оглянусь, всюду рожь густая (Майков).
Кто ни проедет, всякий похвалит (Пушкин).
Частица ни в придаточных предложениях обозначенного типа примыкает к относительному слову либо к союзу, и потому придаточные предложения начинаются сочетаниями: кто ни, кто бы ни, что ни, что бы ни, как ни, как бы ни, сколько ни, сколько бы ни, куда ни, куда бы ни, где ни, где бы ни, какой ни, какой бы ни, чей ни, чей бы ни, когда ни, когда бы ни и т. п.

Эти сочетания вошли в некоторые устойчивые обороты: куда ни шло, откуда ни возьмись, во что бы то ни стало и т. п.

б) Частичка ни встречается в устойчивых сочетаниях, которые имеют значение категорического указания, например: ни с места, ни шагу далee, ни слова и т. п.
в) Частичка ни заходит в состав отрицательных местоимений: никто, никого (ни у кого) и т. д.; ничто, ничего (ни до чего) и т. д.; никакой, никакого (ни у какого) и т. д.; ничей, ничьего (ни у чьего) и т. д. и наречий: никогда, нигде, никуда, ниоткуда, никак, нисколечко, нипочём, ничуть, а также в состав частички -нибудь.
Пишется ни в устойчивых сочетаниях, в которые входят местоимения, например: остался ни при чём, остался ни с чем, пропал ни за что.

г) Двойное ни заходит в устойчивые обороты, представляющие собой сочетание двух противопоставляемых понятий, к примеру: ни живой ни мёртв; ни то ни сё; ни рыба ни мясо; ни дать ни взять; ни пава ни ворона и т. п.