Расставьте знаки препинания и расспишите, пожалуйста, почему тут ставится запятая.

1,2 - запятые ставим ,так как они выделяют придаточное  изъяснительное предложение ( что вожделеет переговорить с ней)
4,5- ставим ,поэтому что вытделяем ещё одно придаточное опред . ( что она не желает разговаривать с ним )
6 - запятую ставим ,так как отделяем придаточное определительное ( о которой он заявлял Конятовскому ,Полистову и  иным)
Запятая 3 не ставится ,поэтому что  есть альянс ТО ( гляди перед пятой запятой , он не дает возможности разделять прид. времени с союзом когда)
Размышляю,так.

Он заявил,(1) что вожделеет переговорить с ней, (2) и (3) когда получил уклончивый, даже дерзкий ответ, (4) что она не желает с ним сказать, (5) то ему пришла в голову издавна загаданная мысль, (6) о которой он заявлял Конятовскому, Полиектову и иным.

1) запятая перед косвенной речью (либо же меж главным и придаточным)).  
Он заявил (слова творца (основное)),(1) что вожделеет переговорить с ней (чужие слова в форме придаточного).

2) запятая меж 2-мя сложноподчинёнными предложениями.
Он заявил, что желает переговорить с ней, (2) и когда получил уклончивый, даже дерзкий ответ, что она не хочет с ним говорить, то ему пришла в голову издавна задуманная идея, о которой он заявлял Конятовскому, Полиектову и иным.

3) запятая не нужна,

4) запятая перед косвенной речью (либо же меж основным и придаточным)).  
...получил уклончивый, даже нахальный ответ (Слова автора (главное), (4) что она не хочет с ним говорить (чужие слова в форме придаточного),

5) запятая меж основным и придаточным в сложноподчинённом предложении.
когда получил уклончивый, даже дерзостный ответ, что она не желает с ним сказать (основное), (5) то ему пришла в голову издавна загаданная идея (придаточное)

6) запятая меж основным и придаточным предложением в сложноподчинённом предложении.
ему пришла в голову издавна задуманная идея (основное), (6) о которой он заявлял Конятовскому, Полиектову и другим (придаточное).