Сколько гр 5% раствора необходимо добавить к 270 грамм 25% раствора,

Обычный вариант
Масса m растворенного вещества одинакова его массовой части (процентной концентрации), умноженной на массу всего раствора:
m = w * m(раствор)

Обозначим как m и m  массы начальных смесей подходящих концентраций (5% и 25%). 
Тогда в 5% растворе содержится 5%*m = 0.05*m растворенного вещества.
Тогда в 25% растворе содержится 25%*m = 0.25*m растворенного вещества.
Тогда в итоге их смешивания масса растворенного вещества будет одинакова сумме:  0,05*m + 0.25*m
При этом масса самого раствора будет равна (m+m)
А масса растворенного в нем вещества (как и для исходных смесей) будет равна: 10%*(m+m) = 0,1*(m+m).
Приравниваем оба выражения для массы растворенного вещества в новеньком растворе:
0,05*m + 0.25*m = 0,1*(m+m)
m = 270 г  по условию задачки,
m - неизвестно

0.05*m + 0.25*270 = 0.1*(m+270)
0.05*m - 0.1*m = 270*(0.1 - 0.25)
-0.05*m =  -40.5
m = 810
Ответ: 810 г 5% раствора

Способ "конверта" или "креста"
Записываем исходные концентрации друг под другом (5% и 25%)
Правее, между ними записываем новейшую концентрацию (10%).
Потом по диагонали вычитаем из бОльшей концентрации мЕньшую (25 - 10 = 15 и 10 -5 = 5).
Полученные числа (верхнее число (15) - для верхнего начального раствора, нижнее число (5)- для нижнего начального раствора) - это части, в которых нужно смешать смесей  подходящих концентраций, чтобы вышел новый раствор с новейшей концентрацией 
В нашем случае

5%        15
     \      /
     10%           Всего 20 долей
     /     \
25%      5

Выходит, необходимо брать 15 долей 5% раствора и 5 долей 25% раствора, чтобы получить 10% раствор (Его получится 20 долей). 
В нашей задаче дано, что 25% раствора необходимо взять 270 г. И эта масса сочиняет 5 долей. Тогда одна часть сочиняет 270 г / 5 = 54 г.
Тогда 15 частей 5% раствора сочиняют 15 * 54 г =  810 г.

Ответ: 810 г 5% раствора