1. Найдите сумму корней уравнения: (x+1)(x+2)(x+4)(x+5)=40 (x принадлежит R)2.Если a+1/a=3 то

1) (x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) = 40.

Меняем местами скобки:

(x + 1)(x + 5)(x + 2)(x + 4) = 40.

Раскрываем скобки попарно:

(х + 6х + 5)(х + 6х + 8) = 40.

Произведем замену, пусть х + 6х = а.

(а + 5)(а + 8) = 40.

a + 13а + 40 = 40.

Отсюда a + 13а = 0; а(а + 13) = 0; а = 0 либо а = -13.

Вернемся к подмене х + 6х = а.

а = 0; х + 6х = 0; х(х + 6) = 0; х = 0 либо х = -6.

а = -13; х + 6х = -13; х + 6х + 13 = 0; D = 36 - 42 = -6 (D lt; 0; нет корней).

Сумма корней уравнения: 0 + (-6) = -6.

2) (a⁴ + 1)/(2a), если a + 1/a = 3.

Возведем 2-ое уравнение в квадрат:

(a + 1/a) = 3.

a + 2 + 1/a = 9.

Отсюда a + 1/a = 9 - 2; a + 1/a = 7.

Преобразуем 1-ое уравнение:

(a⁴ + 1)/(2a) = 1/2 * ((a⁴ + 1)/a) = 1/2 * (a⁴/а + 1/a) = 1/2 * (а + 1/a).

И так как a + 1/a = 7, то выходит:

1/2 * (а + 1/a) = 1/2 * 7 = 7/2 = 3,5.

3) x + 3x + 6/(2 - 3x - x) = 1.

Преобразуем знаменатель дроби:

x + 3x + 6/(-x - 3х + 2) = 1.

x + 3x - 6/(x + 3х - 2) = 1.

Введем новейшую переменную, пусть x + 3х = а.

а - 6/(а - 2) = 1.

Приведем к общему знаменателю:

(а(а - 2) - 6)/(а - 2) = 1.

(а - 2а - 6)/(а - 2) = 1.

По свойству пропорции:

а - 2а - 6 = а - 2.

а - 3а - 4 = 0.

По аксиоме Виета корни одинаковы 4 и -1.

Возвращаемся к подмене x + 3х = а:

а = -1; x + 3х = -1; x + 3х + 1 = 0; D = 9 - 4 = 5 (D = 5).

х₁ = (-3 - 5)/2; х₂ = (-3 + 5)/2. Эти корешки не являются целыми числами.

а = 4; x + 3х = 4; x + 3х - 4 = 0; по аксиоме Виета корешки одинаковы -4 и 1.

Сумма целых решений уравнения: -4 + 1 = -3.

4) x + y = 10; xy = 3.

Выразим из второго уравнение у и подставим в 1-ое:

у = 3/х.

x + (3/х) = 10.

x + 9/х - 10 = 0.

Приведем к общему знаменателю:

(x⁴ + 9 - 10х)/х = 0.

(x⁴ - 10х + 9)/х = 0.

Отсюда х не равен 0.

x⁴ - 10х + 9 = 0.

Произведем подмену, пусть х = a.

а - 10а + 9 = 0.

D = 100 - 36 = 64 (D = 8);

х₁ = (10 - 8)/2 = 1.

х₂ = (10 + 8)/2 = 9.

Вернемся к подмене х = a.

а = 1; х = 1; х = 1 и х = -1.

а = 9; х = 9; х = 3 и х = -3.

Обретаем значения у (у = 3/х):

х = 1; у = 3/1 = 3.

х = -1; у = 3/(-1) = -3.

х = 3; у = 3/3 = 1.

х = -3; у = 3/(-3) = -1.

Отсюда (x + y) одинаково:

(1 + 3) = 16.

(-1 - 3) = 16.

(3 + 1) = 16.

(-3 - 1) = 16.