Вычислить f039;(1)+f039;(4)f(x)=x^2-5x+4

Это вздорно, поэтому что производная у этой функции в точках 1 и 4 не существует.

почему?

По определению производной. В точке 1 левая производная одинакова -3, а правая одинакова 3. Они не одинаковы, потому производная не существует.

а почему они обязаны быть одинаковыми?

все говорят различные вещи хотелось бы знать конкретное решение с определенным ответом

По определению производной производная функции в точке - это предел дела приращений. Предел в точке существует только если предел слева равен лимиту справа. А в данном случае они не одинаковы

Доказательство прицеплено в первой картинке. Если необходимо совсем наглядное изъяснение, то оно во 2-ой картинке с графиками: график функции f(x) (красная линия), в точке х=1 имеет "зубец" - что означает, что в этой точке есть две разных касательных к графику (голубая и зеленоватая прямые). А когда в какой-то точке график функции имеет не единственную касательную, то в этой точке функция не имеет производной. Подобно, кстати и с точкой х=4.