1) Правильно ли, что из 2016 целых чисел всегда можно выбрать

1) Это правильно даже для 3-х чисел...))
    Из 3-х всех целых чисел всегда можно избрать 2 таких, что они будут или оба четные, или оба нечетные.
То есть 2 числа, допустим, четное и нечетное. Третье будет или четным, или нечетным. Поэтому посреди 3-х всех целых чисел всегда можно отыскать пару четных или пару нечетных чисел.

Для чего нам это необходимо? - С четными все понятно:
        2n - 1-ое число, 2(n+k) - 2-ое.
Тогда: 2n + 2(n+k) = 2*(n+n+k) = 2*(2n+k)
Результатом умножения на 2 хоть какого целого числа будет четное число.

Сейчас осмотрим 2 нечетных числа:
        2n+1 - 1-ое число, 2(n+k)+1 -2-ое число
Сумма: 2n+1 + 2(n+k)+1 = 2*(2n+k)+2 - очевидно, также четное.

Таким образом, из 2016 целых чисел всегда можно избрать 2 числа так, чтоб их сумма была четной.

2) Нет, нельзя.
Если такое разбиение есть, то полная сумма 1 + 2 + ... + 21 разбивается на две одинаковые части:
1. сумма всех наибольших чисел в каждой группе и
2. сумма всех других по всем группам.

Так как полная сумма 1 + 2 + ... + 21 = ((1+21) * 21):2 = 11 * 21 = 231 нечётна, то это невероятно.