растолкуйте пожалуйста полным ответом как решать уравнения;8 sin x cos x

Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента sin2A = 2sinAcosA

Пошагово сворачиваем множители:

8sinxcosxcos2x = 1

2sinxcosx4cos2x = 1

4sin2xcos2x = 1

22sin2xcos2x = 1

2sin4x = 1

sin4x = 1/2

4x = (-1)/6 + n, n Z

x = (-1)/24 + n/4, n Z

Ответ: x = (-1)/24 + n/4, n Z.

условие=(упростим выражение)4sin2xcos2x=1

2sintcost=sin2t

2sin4x=1

разделим все на 2

sin4x=1/2

так как sint=sinpi-t

sin4x=1/2

sin(pi-4x)=1/2

чтоб изолировать 4х необходимо использовать оборотную тригонометрическую функцию

4x=arcsin1/2

pi-4x=arcsin1/2

4x=pi/6

pi-4x=pi/6

так как sinpi-4x является повторяющейся фунцией необходимо добавить период 2pin где n принадлежитZ для нахождения все решений

4x=pi/6+2pin, n принадлежитZ

pi-4x=pi/6+2pin  n принадлежитZ

x=pi/24+pin/2  n принадлежитZ

x=5pi/24-pin/2  n принадлежитZ

так как  n принадлежитZ то -pin/2=pin/2

окончательное решение

x=система x=pi/24+pin/2  n принадлежитZ

                   x=5pi/24=pin/2  n принадлежитZ