Как обосновать что ((3^4n)-1)/2 кратно 40?

никак , это неправильноn=1/2 4 не кратно 40

забыл сказать n принадлежит натуральным

задайте вопрос поновой или исправьте пока есть время

это только ваши трудности, если вы что то пренебрегали

а тебе решить никак?

Способом математической индукции: при n=1 это утверждение правильно (3^4-1)/2=40. Предполагаем, что наше утверждение при любом n=k (k - натуральное число) и проверяем, будет ли выполняться утверждение при n=k+1. Если будет, то утверждение подтверждено.

спс

Я пренебрегал вставить слово "правильно" между словами "утверждение при".

На данный момент напишу решение.

Как теснее было показано в комментарии, при n=1 это утверждение правильно. Пусть сейчас n=k: положим, что (3^4k-1)/2=40*m, где m - естественное число. Переходя к n=k+1, получим выражение (3^(4k+4)-1)/2=(81*3^4k-1)/2=(3^4k+80*3^4k-1)/2=(3^4k-1)/2+80*3^4k/2=40*m+40*3^4k=40*(m+3^4k). Так как число 3^4k - натуральное,  то таким будет и число m+3^4k. Обозначив его через n1, получим  (3^(4k+4)-1)/2=40*n1. А это означает, что число  (3^(4k+4)-1)/2 кратно 40. Сейчас из верности утверждения при n=1 следует его верность при n=2; из верности при n=2 следует верность при n=3 и.т.д. для всех натуральных чисел. Утверждение подтверждено.