В вершинах квадрата расставлены естественные числа. Известно, что из 2-ух чисел,

Повернём квадрат так, чтоб меньшее из записанных чисел оказалось в правом нижнем углу. Пусть оно одинаково x. Тогда в левом нижнем углу и правом верхнем углу должны быть записаны числа вида ax и bx, где a и b некоторые натуральные числа, для определённости a gt; b, иначе можно отразить квадрат условно диагонали. Число в левом верхнем углу не может делиться на x (по другому на диагонали будет пара, в которой одно число делится на иное), тогда это какой-то общий делитель чисел ax и bx, обозначим его как d.

Заметим, что x 2 (по другому будет делящаяся пара чисел на диагонали); d x + 1 (по предположению, x меньшее число, и d не делится на x); bx 2d 2x + 2 (bx делится на d и bx gt; d, иначе, если bx = d, d будет делиться на x); ax gt; bx 3d 3x + 3. Означает, сумма всех записанных чисел не меньше x + 6d = x + d + 2d + 3d x + (x + 1) + (2x + 2) + (3x + 3) = 7x + 6.

Если в квадрате расставлены числа 2, 6, 12 и 3, то такая расстановка удовлетворяет условию и сумма чисел одинакова 23. Если какая-то существует какая-то приближающаяся расстановка с не большей суммой чисел, то 7x + 6 23, x 2 (отсюда x = 2) и x + 6d = 2 + 6d 23, d 3 (отсюда d = 3). При этом ax и bx должны сразу делиться на x и d, то есть на 2 и 3, значит, они делятся на 2 3 = 6, откуда bx 6, ax 6 2 = 12, и сумма чисел не меньше 23.

Ответ. 23