Обосновать, что [tex] x^2+y^2+z^2 geq 3[/tex] , если [tex] x+y+z=3[/tex]

1 метод.
Рассмотрим векторы a=(x,y,z) и b=(1,1,1). Тогда, в силу неравенства  abab, получаем x+y+z3(x+y+z), т.е. 3(x+y+z), откуда 3x+y+z.

2 метод.
9= (x+y+z) = x+y+z+2xy+2yz+2xz x+y+z+(x+y)+(y+z)+(x+z) =
= 3(x+y+z), т.е. x+y+z3. Здесь пользовались явным неравенством 2хуx+y.