Выберем посреди всех естественных чисел с нечетной суммой цифрте, которые не

Эта сума чисел будет повторяться в числах из четным количеством сотен: 2, 4, 6 и 8. (Количество таких чисел равно )


Эта сума чисел будет повторяться в числах из нечетным количеством сотен: 1, 3, 5, 7 и 9. (Количество таких чисел одинаково )

В итоге получим общую сумму таких чисел:

Каждое число от 1 до 999 с нечетной суммой цифр имеет один из последующих 4 видов: 2k+1, 2k+10, 2k+100, 2k+111, где k=100a+10b+c и а,b,c0,1,2,3,4, при этом неважно какая такая упорядоченная тройка (a,b,c) совершенно точно задает k. Т.е. k - это все числа до 444, записываемые только цифрами от 0 до 4. Тогда 2k+1 - это все числа до 999 с нечетной младшей цифрой, а остальными четными, 2k+10 - числа  с нечетной цифрой десятков, а остальными цифрами четными и т.д. 2k+111 - числа с 3-мя нечетными цифрами. Только у этих чисел сумма цифр нечетна. Потому, чтоб отыскать разыскиваемую сумму, надо просуммировать по всем таким k величину  (2k+1)+(2k+10)+(2k+100)+(2k+111)=8k+222.
Всего имеется 5=125  троек (a,b,c). Посреди их цифра а (также как и цифры b, c) будет принимать каждое значение от 0 до 4 в 125/5=25 тройках. Означает сумма всех таких k будет равна (0+1+2+3+4)25(100+10+1)=27750. Итак, разыскиваемая сумма одинакова  827750+222125+1000=250750.