до деякого двоцифрового числа злiва i справа дописали по одиницi. Дстали

х - цифра десятков ( 0lt;x9)

у - цифра единиц  (0y9)

(10х+у) данное число

(1000+100х+10у+1) новое число

Уравнение

23*(10х+у) = (1000+100х+10у+1)

230х+23у = 1000+100х+10у+1

230х-100х = 10у 23у + 1001

130х = -13у  + 1001

130х + 13у  = 1001

Разделим обе доли уравнения на 13.

10х + у = 77

х =(77-у)/10

 При у = 7 разность (77- у) разделится нацело на 10.

Получим:

х = (77-7)/10 = 70/10 = 7

х=7;  у=7

 77 - искомое число.

Проверка: 

1771 : 77 = 23

Ответ: 77.