Решить систему ax+y=a^2 ; x+ay=a^2+a-1

Присмотревшись к системе пристально, замечаем, что это - система линейных уравнений, так как переменные x и y входят в неё в первых ступенях.

Как следует, решаем её как и всякую линейную систему: подстановкой.

Из первого уравнения выражаем y и подставляем во 2-ое:

Подставляем во 2-ое:

Тут я выделил коэффициент при x, зависящий от параметра, а, кроме того, кубический многочлен от параметра разложил на множители для большего удобства.

Сейчас рассматриваем уравнение как линейное(с переменной x).
Очевидно, для любого линейного уравнения вероятны последующие три варианта:
        а)Уравнение имеет ровно одно решение;
        б)Уравнение имеет неисчерпаемое огромное количество решений;
        в)Уравнение вообщем не имеет решений.

 Для начала стоит рассмотреть приватные случаи.
      а)Пусть . Тогда после подстановки получаем уравнение
            , которое представляет из себя верное равенство(при умножении на 0 всегда получаем 0), а потому правильно для хоть какого x.
      б)Пусть . Аналогичная ситуация имеет место. Уравнение опять имеет неисчерпаемо много решений, как следует, и вся система(поскольку каждому x подходит ровно один y, то бесконечному количеству значений x подходит нескончаемое количество значений y).

      в)Пусть сейчас .
Тогда сокращаем обе доли уравнения на общий множитель:
         
То есть, для всех таких значений параметра а всегда имеет ровно 1 решение линейного уравнения(одинаковое a-1). Тогда сразу из иного уравнения обретаем y:
      


таким образом, ответ можно записать так:
Ответ: если , система имеет бесконечно много решений;
             если , то система имеет единственное решение