Пользуясь определением установить, существует ли производная функции f(x) в точке x

Пользуясь определением установить, существует ли производная функции f(x) в точке x = 0, если:
Пожалуйста помогите со всеми пт (смотри картинку).

Задать свой вопрос
Батоврина Амина
нужно отыскать двухсторонний предел функции в данной точке и сравнить эти значения. Если пределы совпали - производная существует
Эмилия Курбашкина
Спасибо
1 ответ

производная по определению:

 f(x)= \lim_\Delta x \to 0 \frac\Delta y\Delta x ,  где


  \Delta y =f(x+\Delta x)-f(x)


нужное и достаточное условие существование производной:


 f'(x_0-0)=f'(x_0+0) , то есть

 \lim_\Delta x \to -0 \frac\Delta y\Delta x =\lim_\Delta x \to +0 \frac\Delta y\Delta x


 a) f(x)=x^3 \\ \Delta y=(x+\Delta x)^3-x^3


нужно найти, существует ли производная в точке x=0, потому подставляем вместо х нуль:


 \Delta y=(0+\Delta x)^3-0^3=(\Delta x)^3


Напомню, что когда под модулем стоит положительное число, то символ модуля просто убирается,

а если отрицательное, то знак модуля также убирается, но впереди ставится знак минус!


Левосторонний предел:


 f'(x_0-0)= \lim_\Delta x \to -0 \ \frac\Delta y\Delta x = \lim_\Delta x \to -0 \ \frac(\Delta x )^3\Delta x=\lim_\Delta x \to -0 \ \frac-(\Delta x)^3\Delta x \\ \\ =\lim_\Delta x \to -0 \ -(\Delta x)^2=\lim_\Delta x \to -0 \ -(-0)^2=0


Подобно для правостороннего:

 f'(x_0+0)= \lim_\Delta x \to+0 \ \frac\Delta y\Delta x = \lim_\Delta x \to +0 \ \frac(\Delta x )^3\Delta x=\lim_\Delta x \to +0 \ \frac(\Delta x)^3\Delta x \\ \\ =\lim_\Delta x \to +0 \ (\Delta x)^2=\lim_\Delta x \to +0 \ (+0)^2=0


f'(x_0-0)=f'(x_0+0) производная существует в точке х=0


б)

 \Delta y=x+\Delta x+x+\Delta x - (x+x)=0+\Delta x+0+\Delta x - (0+0)= \\ \\ =\Delta x +\Delta x \\ \\ 1) \lim_\Delta x \to -0 \frac\Delta y\Delta x =\lim_\Delta x \to -0 \frac\Delta x +\Delta x\Delta x =\lim_\Delta x \to -0 \frac-\Delta x +\Delta x\Delta x =0\\ \\ 2)\lim_\Delta x \to +0 \frac\Delta x +\Delta x\Delta x =\lim_\Delta x \to +0 \frac\Delta x +\Delta x\Delta x =2


f'(x_0-0)

Ева Резголь
Поэтому что синус бесконечности неопределен
Кутмириди София
Спасибо, очень посодействовали!
Степа Шейнблат
А почему в д мы проверяем непрерывность, а в иных пунктах нет?!
Щеточкина Даша
Поэтому что в пт в и г итак производной нет
Кирилл Чикунаев
Нет смысла
Кирюха Симхович
Выходит всегда надобно проверять непрерывность?
Oksana Bespala
Точно не могу сказать, в различных источниках по различному пишут
Димка Савалин
В одних сказано, что функция должна быть непрерывна в точке, чтоб была производная в этой точке. В других источниках пишут, что есть нужный и достаточный признак и он (наверняка) предполагает, что функция является непрерывной, если производится данное условие
Незнаев Гена
Спасибо
Ева
Пожалуйста
, оставишь ответ?
Имя:*
E-Mail:


Последние вопросы

Добро пожаловать!

Для того чтобы стать полноценным пользователем нашего портала, вам необходимо пройти регистрацию.
Зарегистрироваться
Создайте собственную учетную запить!

Пройти регистрацию
Авторизоваться
Уже зарегистрированны? А ну-ка живо авторизуйтесь!

Войти на сайт