В системе из трехлинейных уравнений Ax + By + Cz =

Если в условии вправду H gt; G + I, то утверждение, явно, ошибочно: к примеру, система
3x - y - z = 0
-x + 3y - z = 0
-x + 3y - z = 0
не считая решения (0, 0. 0) имеет решение (1, 1, 2).

Если в реальности I gt; G + H, G, H lt; 0, то утверждение становится верным:
Разделим 1-ое уравнение на A, 2-ое на E, третье на I и переобозначим получившиеся коэффициенты:
x - ay - bz = 0
-cx + y - dz = 0
-ex - fy + z = 0

Исходя из условия a, b, c, d, e, f gt; 0; a + b lt; 1, c + d lt; 1, e + f lt; 1.

Умножаем первое уравнение на c и складываем со вторым, умножаем на e и складываем с третьим:
x - ay - bz = 0
(1 - ac) y - (d + bc) z = 0
-(f + ae) y + (1 - be) z = 0

Так как 0 lt; a, b, c, e lt; 1, то 1 - ac, f + ae gt; 0.
Прибавим к третьему  уравнению, домноженному на (1 - ac), 2-ое, домноженное на (f + ae):
x - ay - bz = 0
(1 - ac) y - (d + bc) z = 0
[(1 - ac)(1 - be) - (d + bc)(f + ae)] z = 0

Рассматриваем коэффициент перед z в 3-ем уравнении:
(1 - ac)(1 - be) - (d + bc)(f + ae) = 1 + abce - ac - be - df - bcf - ade - abce = 1 - (ac + be + df + bcf + ade)

Оценим выражение в скобках, учтя, что b lt; 1 - a, d lt; 1 - c, f lt; 1 - e:
ac + be + df + bcf + ade lt; ac + (1 - a)e + (1 - c)(1 - e) + (1 - a)c(1 - e) + a(1 - c)e = 1.

Тогда коэффициент перед z положительный, на него можно поделить и получить, что z = 0.
Подставляем z = 0 во 2-ое уравнение и получаем, что y = 0.
Подставляем y = z = 0 и получаем, что x = 0.

x = y = z = 0, ура.