Помогите решить дифференциальное уравнениеxydy=(x^2-y^2)dx

Question

Вопросы-ответы » Алгебра

Помогите решить дифференциальное уравнениеxydy=(x^2-y^2)dx

Помогите решить дифференциальное уравнение
xydy=(x^2-y^2)dx

Задать свой вопрос

Елизавета Талденко
Алгебра
2019-06-21 08:39:43
1
2

2 ответа

, оставишь ответ?

Имя:*

E-Mail:

Похожие вопросы

Квадратный трехчлен разложения на множители. Найдите а?Задание 4.

Помогите билет по казахскому

Сочинение на тему Что такое дружба (рассуждение)

Помогите решить задачку 12 рис 265! ПОЖАЛУЙСТА

Диагонали ромба 16 см и 13 дом гипотенуза 25 см. Отыскать

Из произведения числа и и 295вычли 8986 и получили 37919

Помогите упр 649 пожалуйста

Помогитееееееееееееее Логарифм 13 задачка

Угол при основании осевого сечения конуса 60 , вышина конуса 3.

Запишите предложения так, чтоб слова творца разрывали прямую речь.Здрасти. Попросите,

Natashka Lavrov Ivanova · Answer 1 · 2019-06-21 08:45:13+3:00

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальное уравнение первого порядка $y'=f(x;y)$ будем именовать однородным, если его правая часть, то есть, $f(x;y)$ является однородной функцией нулевого измерения условно своих х и у, то есть, для нее производится тождество:
$f(\lambda x,\lambda y)=f(x;y)$

$xydy=(x^2-y^2)dx:dx\\ xyy'=x^2-y^2$
Убедимся, что данное дифференциальное уравнение является однородным. Воспользуемся условием однородности
$\lambda x\lambda yy'=(\lambda x)^2-(\lambda y)^2\\ \\ \lambda^2xyy'=\lambda^2(x^2-y^2)\\ \\ xyy'=x^2-y^2$

Итак, дифференциальное уравнение является однородным.

Пусть $y=ux$ , тогда $y'=u'x+u$ получаем

$x*ux*(u'x+u)=x^2-u^2x^2\\ u'xu+u^2=1-u^2\\ u'x= \frac1-2u^2u$
Получили уравнение с разделяющимися переменными

$\fracdudx *x= \frac1-2u^2u\\ \\ \fracudu1-2u^2 = \fracdxx$

Интегрируя обе части уравнения, получаем

$\displaystyle \frac12 \int\limits \fracdu^21-2u^2 =\int\limits \fracdxx \\ \\ - \frac14 \ln1-2u^2=\lnx+\ln C\\ \\ \\ \ln\bigg \frac\sqrt[4]C \sqrt[4]1-2u^2 \bigg=\lnx\\ \\ \\ x^4= \fracC1-2u^2 \\ \\ \\ \fracCx^4 =1-2u^2\\ \\ \\ \fracC-x^4x^4 =-2u^2\\ \\ \\ u=\pm \sqrt \fracx^4-C2x^4 =\pm \frac\sqrtx^4-Cx^2\sqrt2$

Обратная подмена

$\displaystyle \fracyx =\pm \frac\sqrtx^4-Cx^2\sqrt2 \\ \\ \\ y=\pm \frac\sqrtx^4-Cx\sqrt2$

Получили общее решение.

Есения Нероденкова · Answer 2 · 2019-06-21 08:48:06+3:00

$(x^2-y^2)\ dx-xy\ dy=0$

Домножим уравнение на x:

$\frac12(x^2-y^2)\ dx^2-\frac12x^2\ dy^2=0; \ x^2=p;\ y^2=q; \ amp;10;(p-q)\ dp-p\ dq=0;$

$p dp - (q\ dp+ p\ dq)=0;\ d(\fracp^22)-d(pq)=0; d(p^2-2pq)=0; p^2-2pq=C;$

$x^4-2x^2y^2=C$

Если требуется получить y как функцию от x, то

$y^2=\fracx^4-C2x^2; y=\pm\frac\sqrtx^4-Cx\sqrt2$

Решение x=0 пропадает на последнем этапе, потому его необходимо добавить в ответ.

О проекте

Помогите решить дифференциальное уравнениеxydy=(x^2-y^2)dx

Добро пожаловать!