Геометрическая прогрессия из 4 естественных членов имеет сумму 80. Найдите её

Геометрическая прогрессия:

По условию все члены - натуральные числа, означает и - естественные

Найдем сумму первых 4 членов по формуле:

По условию эта сумма одинакова 80:

Преобразуем левую часть:

Представим, что . Тогда:

Осмотрим в качестве второго сомножителя числа - делители числа 80.

Имеется всего четыре точных квадрата:

- не геометрическая прогрессия.

(отрицательные значения не разглядываем) - все члены прогрессии одинаковы 1, их сумма одинакова 4 - не подходит.

- члены прогрессии одинаковы 1, 2, 4, 8 в сумме дают 15 - не подходит.

- члены прогрессии одинаковы 1, 3, 9, 27 в сумме дают 40 - не подходит.

При рассмотрении иных значений , состав делителей числа будет убавляться, однако никаких новых чисел, хороших от ранее выписанных не будет.

Таким образом, остается определить может ли при каком-или значении знаменатель равняться 1, 2 и 3.

Если , то последовательность неизменная. Явно. что каждый член таковой прогрессии (если такие прогрессии допускаются по условию) равен . Наибольший член в таком случае равен 20.

Если , то рассмотрим формулу для суммы:

16/3 - не естественное число, таковой случай не удовлетворяет условию

Если , то также осмотрим формулу для суммы:

Следовательно, члены прогрессии 2, 6, 18, 54. Величайший - 54.

Ответ:

Прогрессия 20, 20, 20, 20 с наибольшим элементом 20 (если учесть рассмотрение постоянных прогрессий со знаменателем 1, потому что слово "наибольший", вероятно, предполагает то, что все члены последовательности обязаны быть различны).

Прогрессия 2, 6, 18, 54 с наибольшим элементом 54.