При каком меньшем значении а уравнение имеет хотя бы один корень?

Делаем замену: корень 4 ступени из (х-3)=у
Получим уравнение: у+(14-2а)у-6а+33=0
D=(a-4)0 - то есть корни есть при любых а
Исходное уравнение не будет иметь решений, когда оба корня отрицательны из т. Виета получим систему:
14-2аgt;0
-6a+33gt;0
ее решением является а(-;5,5)
Следовательно хотя бы один корень будет при а[5,5;+)
Меньшее значение а=5,5

Решение вашего задания.