1. He...whenever he goes to the theatre. А) is boring Б)

Переведем предложения, чтоб найти что именно необходимо воткнуть на места пропусков:

1. He ... whenever he goes to the theater. Всякий раз, когда он навещает в театр, ему становится скучно.
2. He wont let anyone ... his records. Он не позволит никому касаться собственных записей.

В первом случае, единственная конструкция, которая построена правильно и подходит по смыслу это "is bored".

Во втором это глагол "touch" в начальной форме.