Обоснуйте, что любой отрезок с концами на различных гранях треугольника не

Решение. Рассмотрим треугольник ABC, на гранях АВ и ВС которого взяты точки М и N (рис.212). Если одна из этих точек совпадает с вершиной В либо отрезок MN совпадает со стороной АС, то утверждение, сформулированное в задачке, явно. Случай, когда один из концов отрезка MN совпадает с верхушкой А либо С, осмотрен в задачке 312. Осталось осмотреть случай, когда оба конца отрезка MN не совпадают ни с одной из вершин треугольника.
В треугольнике BMN один из углов острый. Пусть, к примеру, острым является угол М. Тогда смежный с ним угол AMN тупой. Сообразно утверждению, сформулированному в задачке 312, отрезок AN меньше большей из сторон АВ и АС. С иной стороны, этот отрезок лежит против тупого угла треугольника AMN, поэтому MN lt; AN. Как следует, отрезок MN также меньше большей из сторон АВ и АС, а означает, он меньше наивеличайшей из сторон треугольника ABC.