ABCD - квадрат с стороной 4 см.Точка М отдалена от каждой

Решение.
Поначалу изобразим условие задачки графически.
Пирамида с меданами граней
Как видно из чертежа, точка М - представляет собой вершину правильной четырехугольной пирамиды. Точка К, явлющаяся серединой ребра АМ, Является точкой, к которой проведены медианы треугольников ADM, ABM и ACM. То есть медианы KC, KD и KB этих треугольников и являются расстояниями до вершин квадрата.

Таким образом, задачка нахождения расстояний сводится к задачке нахождения длины этих медиан.

Для нахождения длины медиан применим теорему Стюарта.

mc2 = ( 2a2 + 2b2 - c2 ) / 4

Для треугольника ABM медиана KB
KB2 = ( 2AM2 nbsp;nbsp;+ 2AB2 - AM2 nbsp;) nbsp;/ 4
KB2 = ( 2 * 7 2 + 2 * 4 2 - 7 2 ) / 4
KB2 = ( 98 + 32 - 49 nbsp;) / 4 = 81 / 4
KB = 4,5 nbsp;
Так как пирамида верная, то для KD будет тот же итог KD = 4,5

Длина диагонали квадрата АС = 42 (по подходящей формуле d = a2 )

Для треугольника ACM медиана CK будет равна:
CK2 = ( 2AC2 + 2CM2 - AM2 nbsp;) nbsp;/ 4
CK2 = ( 2(42)2 + 2 * 72 - 72 nbsp;) nbsp;/ 4
CK2 = ( 64 + 98 - 49 nbsp;) nbsp;/ 4
CK = 113/2
Для нахождения расстояний до сторон квадрата изобразим задачку последующим образом:

piramida_m2.gif
Сначала определим вышину пирамиды: nbsp;nbsp;
MO2 nbsp;= MA2 - nbsp;OA2
Так как пирамида верная, длина OA одинакова половине длины диагонали квадрата.
MO2 = 72 - ( 22 )2 nbsp;
MO = 41
Откуда длина отрезка KL по аксиоме Фалеса одинакова nbsp;
KL = 41/2
(так как KA одинаково половине MA в треугольнике AOM либо, если желайте, как средняя линия треугольника)

Аналогично,
LA = OA / 2 = 2
LA является диагональю квадрата, стороны которого равны расстоянию от точки L до сторон основания. Так как диагональ квадрата одинакова nbsp;
d = a2
то
LA = a2
2 = a2 nbsp;nbsp;
nbsp;nbsp;a = 1
То есть LF = 1

Тогда расстояние от точки K до стороны AD по аксиоме Пифагора будет одинаково:
KF2 = KL2 + LF2
KF2 = ( 41/2 )2 + 1
KF = 45 / 2 = 35 / 2
Сейчас найдем расстояние до 2-ух иных сторон квадрата
KE2 = KL2 + LE2
заметим, что LE = FE - LF = AB - LF = 4 - 1 = 3

Откуда
KE2 = ( 41/2 )2 nbsp;+ 32
KE = 77 / 2
Ответ: расстояния до вершин квадрата равны 4,5 4,5 nbsp;nbsp;113/2, а до сторон nbsp;квадрата 77/2 и nbsp;nbsp;35/2