Коло, вписане в рвнобедрений трикутник ABC, дотикаться до його бчних cтopiн

АВС - рвнобедрений, АВ = ВС. О - центр вписаного кола у АВС.
М, N - точки дотику, Довести: MN АС.
Доведения:
За умовою АВС - рвнобедрений (АВ = ВС).
За властивстю кутв рвнобедреного трикутника мамо:
Нехай A = х, C = х.
За теоремою про суму кутв трикутника мамо:
ABC = 180 - 2х. О - центр вписаного кола, тод ВО - бсектриса
MBN, тод MBO = OBN = MBN : 2.
МBO = NBO = (180 - 2х) : 2 = 90 - х.
МО i NO - радуси вписаного кола, тод за властивстю дотичних
до кола мамо: ОМ AB, ON ВС.
Розглянемо ОВМ i ONB - прямокутн OMB = ONB = 90,
ОМ = ON, OB - спльна сторона, тод MOE = NOE.
Розглянемо МОВ - прямокутний (B = 90).
За властивстю гострих кутв прямокутного трикутника мамо:
MOB = 90 - (90 - х) = 90 - 90 + х = х.
Отже, MOE = NOE = х; MON = 2х.
MON - рвнобедрений (ОМ = ON).
За властивстю кутв рвнобедреного трикутника мамо:
OMN = ONM = (180 - 2х) : 2 = 90 - х.
За аксомою вимрювання кутв мамо: EMB = OMB - OME.
EMB = 90 - (90 - х) = 90 - 90 + х = х.
Отже, A = EMB = х (вдповднв).
За ознакою паралельност прямих мамо: AC MN, АВ - счна.
Доведено.