В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так,

BM - медиана треугольника АВС, как следует, она делит этот треугольник на два одинаковых по площади треугольника ( свойство медианы).
SABM=SCMB=SABC/2
Осмотрим треугольник ABM и проведем высоту из верхушки А.
nbsp;Вышина h так же является высотой для треугольников ABK и AKM.
Означает их площади:
SABK=h*BK*1/2
SAKM=h*KM*1/2
Найдем отношение этих площадей:
SABK/SAKM=(h*BK*1/2)/(h*KM*1/2)
SABK/SAKM=BK/KM=4
Т.е. SAKM=SABK/4
SABK+SAKM=SABM=SABC/2
SABK+SABK/4=SABC/2
SABK*5/4=SABC/2
SABK=(SABC/2)*4/5
SABK=2*SABC/5
SAKM=SABK/4=(2*SABC/5)/4=SABC/10
Проведем отрезок CK и осмотрим треугольники AKM и CKM.
Проведем высоту KF. Эта вышина является общей для обоих этих треугольников. Площади этих треугольников:
SAKM=KF*AM*1/2
SCKM=KF*CM*1/2
KF=CM (так как BM- медиана), как следует SAKM=SCKM=SABC/10
Тогда SCKB=SCMB-SCKM=SABC/2-SABC/10=5*SABC/10-SABC/10=4*SABC/10=2*SABC/5
Вернемся к первоначальному рисунку и проведем отрезок MR, параллельный AP.
Для треугольника APC MR - средняя линия, так как проходит через середину AC и параллельна AP.
Как следует, по аксиоме о средней полосы, PR=RC.
Осмотрим треугольники MBR и KBP.