В окружности с центром О проведено непаралельн хорди МК i NP,

Дано: О - центр кола. KM, NP - хорди (KM не паралельне NC).
КМ = ND. А - середина КМ. В - середина NP.
Довести: ZOAB = ZOBA.
Доведення:
Виконамо додатков побудови: радуси ОК, ОМ, ON, OP.
Розглянемо КОМ i NОР.
КО = ОМ та N0 = ОР - радуси, тобто КО = N0 = ОМ = ОР (за побудовою).
За умовою КМ = NP.
За III ознакою piвностi трикутникв мамо: КОМ = NOP.
Звдси мамо: OKM = OPN, OMK = ONP.
За умовою А - середина КМ, отже, КА = КМ = 1/2КМ.
В - середина NP, отже, BN = ВР = 1/2NP.
Розглянемо АОК i ОРВ.
Якщо АК = РВ; OK = OP, OKM = OPN.
За I ознакою piвностi трикутникв мамо: ОАК = ОВР.
Звдси мамо: ОА = ОВ.
Тобто ОАВ - р1внобедрений.
За властивстю кутв при основi piвнобедреного трикутника мамо: OAB = OBA.