В шаре радиуса 2R, несущем умеренно распределенный заряд с большой плотностью

а можно рисунок? А то не понятно, где центр выреза, и что за точки O, A и B

сейчас

Осмотрим равномерно заряженный шар. Внутри шара можно избрать сферическую поверхность радиусом r с центром в центре шара. Поле E всюду направлено радиально, означает перпендикулярно выбранной поверхности, и зависит только от расстояния до центра шара (т.к. все симметрично).
Раз поле всюду на поверхности идиентично и перпендикулярно ей, означает поток поля E через поверхность:
Ф(r) = E(r) S(r)
где E(r) - модуль напряженности на расстоянии r от центра, а S(r) - площадь поверхности сферы радиусом r. (S(r)=4пr^2)
По аксиоме Гаусса поток равен (с точностью до множителя) полному заряду снутри поверхности:
Ф(r) = Q(r) / eo 
Q(r) = (4п/3) r^3 p - заряд снутри сферы радиусом r. (p - плотность заряда)
4 п r^2 E(r) =  (4п/3) r^3 p

E(r) = p r /3 - Напряженность поля снутри шара на расстоянии r от центра.

Снаружи шара поле от него как точечного заряда в центре шара.

Ну сейчас для вас осталось применить аддитивность. Шар с незаряженной областью это то же самое, что заряженный стопроцентно шар, а снутри область с противоположным по знаку зарядом. на тоже шар. А поле шара снутри мы уже получили. Осталось сложить поля (векторно) и получить ответ. Фортуны)