опытнейшее подтверждение первого закона Ньютона

Формула двучлена Ньютона является приватным случаем разложения функции \displaystyle (1+x)^r (1+x)^r в ряд Тейлора:

\displaystyle (1+x)^r=\sum _k=0^\infty r \choose kx^k (1+x)^r=\sum_k=0^\infty r \choose k x^k,

где r может быть всеохватывающим числом (в частности, отрицательным либо вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле:

\displaystyle r \choose k=1 \over k!\prod _n=0^k-1(r-n)=\frac r(r-1)(r-2)\cdots (r-(k-1))k! \displaystyle r \choose k=1 \over k!\prod _n=0^k-1(r-n)=\frac r(r-1)(r-2)\cdots (r-(k-1))k!

При этом ряд

\displaystyle (1+z)^\alpha =1+\alpha z+\frac \alpha (\alpha -1)2z^2+...+\frac \alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)n!z^n+... (1+z)^\alpha=1+\alphaz+\frac\alpha(\alpha-1)2z^2+...+\frac\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)n!z^n+....

сходится при \displaystyle z\leq 1 z\le 1.

В частности, при \displaystyle z=\frac 1m z=\frac1m и \displaystyle \alpha =x\cdot m \alpha=x\cdot m выходит тождество

\displaystyle \left(1+\frac 1m\right)^xm=1+x+\frac xm(xm-1)2\;m^2+...+\frac xm(xm-1)\cdots (xm-n+1)n!\;m^n+\dots . \left(1+\frac1m\right)^xm=1+x+\fracxm(xm-1)2\; m^2+...+\fracxm(xm-1)\cdots(xm-n+1)n!\; m^n+\dots.

Переходя к пределу при \displaystyle m\to \infty m\to\infty и используя 2-ой примечательный предел \displaystyle \lim _m\to \infty \left(1+\frac 1m\right)^m=e \lim_m\to\infty\left(1+\frac1m\right)^m=e, выводим тождество

\displaystyle e^x=1+x+\frac x^22+\dots +\frac x^nn!+\dots , e^x=1+x+\fracx^22+\dots+\fracx^nn!+\dots,

которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.