Свойство описанного четырехугольника. Формулировка и доказательство

В   описанном  четырёхугольнике  суммы   противоположных сторон одинаковы. Пусть  четырёхугольник   ABCD    описан   около   окружности (черт.  415), т. е. стороны его АВ, ВС, CD и DA касательные к этой окружности.



Требуется обосновать, что АВ + CD =AD + ВС. Обозначим точки касания знаками М, N, К, Р,   На основании свойств касательных, проведённых к окружности из одной точки,  имеем:

АР = АК;
ВР = ВМ; 
DN = DK; 
CN = СМ.

Сложим почленно эти равенства. Получим:

АР + ВР + DN + CN = АК + ВМ +DK + СМ,

т. е. АВ + CD = AD + ВС, что и требовалось обосновать.