Объясните человеческим языком, что такое кривизна поверхности.

Дифференциальную? А что это?

Прибавленье дифференциального (производная функции) и интегрального (интегралы) исчисления к геометрическим фигурам и телам. Кривизна - это как раз оттуда)

То есть без познания интегралов в геометрии Лобачевского делать нечего?

При чем здесь Лобачевский? Лобачевский - это гиперболическая геометрия. А я про дифференциальную.

У меня появился вопрос про кривизну, когда я начал читать геометрию Лобачевского...

Геометрия Лобачевского - это теория, которая на основании пятого постулата Евклида утверждает, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходят, по меньшей мере, ДВЕ прямые (у Евклида, если помните, только одна), которые лежат с данной прямой в одной плоскости и не пересекают ее (т.е. параллельны ей). Эта теория в классической (школьной, по Евклиду) геометрии не работает: для нее было создано свое, отличное от иных место. Потому кривизна в 2-ух разных геометриях различна.

Вот как раз о параллельных прямых там речи не идёт! Евклид, не Евклид, а через одну точку проходит только одна параллельна ровная...

Я больше 20 лет занимаюсь исследованием теории Лобачевского применительно к различным моделям и пространствам, и спорить с вами у меня вряд ли есть желание, ибо считаю это необоснованным) Почитайте труды Лобачевского, желая бы с книжки Н. И. Лобачевского Геометрические исследования по теории параллельных линий.