Обоснуйте, что сумма радиусов вписанной и описанной окружностей в прямоугольном треугольнике

В треугольнике: катеты а и b, гипотенуза  с, прямой угол С,
R - радиус описанной окружности, r- радиус вписанной окружности.
Начнём с описанной окружности. Так как  угол С прямой, то этот угол опирается на поперечник окружности, т.е. поперечник окружности есть его гипотенуза, и. с = 2R
Теперь вписанная окружность. Опустим из её центра на катеты перпендикуляры, эти перпендикуляры одинаковы r- радиусу вписанной окружности. Два обоюдно перпендикулярных радиуса r и отрезки катетов, прилежащих к верхушке прямого угла С, образуют квадрат со стороной r.
Тогда отрезки катетов, прилегающих к вершинам острых углов, одинаковы
 (а - r) и (b - r).
Третий перпендикуляр, опущенный из центра окружности на гипотенузу делит её на отрезки, одинаковые (а - r) и (b - r).
Выходит, что гипотенуза одинакова c = a - r + b - r = a + b - 2r.
Но ранее мы получили, что с = 2R
Тогда 2R = a + b - 2r
2R + 2r = a + b
R + r = 0.5(a + b) что и требовалось обосновать.

Стороны треугольника являются касательными к вписанной окр, отсюда отрезки касательных из вершин попарно равны.
Я все обозначил на рисунке. Также  a  и b -катеты.
А радиус описанн. окр. равен половине гипотенузы.
Сейчас решаем.
a=y+r
b=x+r
a+b=x+r+y+r=(x+y)+2r=2R+2r   
a+b=2(R+r) 
R+r=(a+b)/2

что и требовалось обосновать.