Разделяет ли средняя линия в случайном треугольнике его высоту пополам ?

Да, разделяет. Для этого нужно осмотреть два треугольника, образованных средней линией и вышиной. Пусть x - катет одного треугольника (махонького, являющегося долею великого), средняя линия равна z. Тогда катет большого треугольника, параллельный катету маленького, равен 2x. Маленький треугольник и великой подобны по 1 признаку (т.к. ровная, перпендикулярная одной из параллельных прямых, параллельна и второй, прямые параллельны, т.к. средняя линия параллельна стороне треугольника). Из подобия следует, что коэффициент подобия равен 1:2 =gt; средняя линия разделяет вышину на две одинаковые доли.