отыскать объем треугольной призмы abca1b1c1 зная четыре из шести ее вершин:

Координаты вектора одинаковы разности подходящих координат точек его конца и начала АВх2-х1;y2-y1;z2-z1.
В нашем случае вектора: АВ2;1;2, ВВ10;1;-2, В1С11;0;2.
Модуль или длина вектора: a=(x+y+z), означает
AB=(2+1+2)=3.
BC=(1+0+2)=5. (так как ВС=В1С1 - ребра призмы).
Косинус угла меж векторами cos=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/[(x1+y1+z1)*(x2+y2+z2)].
Угол меж векторами АВ и ВС равен углу меж векторами АВ и В1С1 (как угол между скрещивающимися прямыми), тогда :
cos=(2*1+1*0+2*2)/[(4+1+4)*(1+0+4)]=6/(35)=25/5.
Тогда площадь основания одинакова (1/2)*АВ*ВС*Sin.
Sin=(1-Cos)=(1-4/5)=5/5. Sabc=AB*BC*Sin=35*5/5=3ед.

Вышина призмы - это расстояние от точки В1 до плоскости АВС.
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, записывается как:
X-X1 X2-X1 X3-X1
y-Y1 Y2-Y1 Y3-Y1=0.  Из условия имеем:  
Z-Z1 Z2-Y1 Z3-Z1

X-1  2  3
Y-2  1  1 =0.  
Z-3  2  4
Раскрываем определитель по формуле:
a1b2c3+a3b1c2+a2b3c1-a3b2c1-a1b3c2-a2b1c3=(X-1)*4+(Z-3)*2+(y-2)*6-(z-3)*3-(х-1)*2-(y-2)*8 = 4X-4+2Z-6+6Y-12-3Z+9-2X+2-8Y+16 = 2X-2Y-Z+5=0
2-ой вариант (для проверки арифметики):
Раскрываем определитель по первому столбцу, обретаем уравнение плоскости:
         1 1            2 3            2  3
(х-1)*2 4 - (y-2)*2 4 +(z-3)*1  1 =0.

(X-1)(4-2)-(Y-2)(8-6)+(Z-3)(2-3)=0.
2X-2-2Y+4-Z+3=0  либо 2X-2Y-Z+5=0.
Оба варианта дали одинаковый вариант уравнения плоскости:
2X-2Y-Z+5=0.
Проверка для точки А: 2-4-3+5=0. Для точки В: 6-6-5+5=0. Для точки C: 8-6-7+5=0.
Итак, уравнение плоскости верное.
Найдем вышину призмы.
Расстояние d от точки M0(x0,y0,z0) до плоскости ax+by+cz+d=0 рассчитывается по таковой формуле: d=ax0+by0+cz0+d/(a+b+c).  В нашем случае:
d=6-8-3+5(4+4+1)=0
Где же ошибка?
Проверим по данным нам точкам В1 и С1.
Эти точки, данные нам в условии, так же ПРИНАДЛЕЖАТ ЭТОЙ ПЛОСКОСТИ!
Проверка:  Для точки В1: 6-8-3+5=0. Для точки C1: 8-8-5+5=0.
Как следует, все четыре данных вершины ЛЕЖАТ в ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ.
====================================================
Проверим еще раз: найдем уравнение плоскости АВС1:
X-X1 X2-X1 X3-X1
y-Y1 Y2-Y1 Y3-Y1=0.  Из условия имеем:  
Z-Z1 Z2-Y1 Z3-Z1

X-1  2  3
Y-2  1  2 =0.  
Z-3  2  2
Раскрываем определитель по формуле:
a1b2c3+a3b1c2+a2b3c1-a3b2c1-a1b3c2-a2b1c3=
=(X-1)*2+(Z-3)*4+(y-2)*6-(z-3)*3-(х-1)*4-(y-2)*4=
=2X-2+4Z-12+6Y-12-3Z+9-4X+4-4Y+8 = -2X+2Y+Z-5=0  либо 2X-2Y-Z-5=0.
Итак, плоскость АВС и АВС1 СОВПАДАЕТ.
=======================================================
И еще раз:
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки В(3,3,5), В1(3,4,3),
С1(4,4,5). записывается как:
X-X1 X2-X1 X3-X1
y-Y1 Y2-Y1 Y3-Y1=0.  Из условия имеем:  
Z-Z1 Z2-Y1 Z3-Z1

X-3   0  1
Y-3   1  1 =0.  
Z-5  -2  0
Раскрываем определитель по первому столбцу,
обретаем уравнение плоскости:
         1 1            0 1            0  1
(х-3)*-2 0 - (y-3)*-2 0 +(z-5)*1  1 =0.

(X-3)2-(Y-3)2+(Z-5)(-1)=0.
2X-6-2Y+6-Z+5=0  либо 2X-2Y-Z+5=0.
Итак, плоскости ВВ1С1 и АВС - одна и та же! Как и плоскость АВС1.
Данная нам фигура - НЕ ПРИЗМА!