В выпуклом 4 угольнике ABCD угол ABD равен углу ACD. Обоснуйте,

По теореме синусов вокруг АВД и АСД можно обрисовать одну и ту же окружность. Тогда четырехугольник АВСД вписан в окружность, где вписанные углы АСВ и АДВ опираются на одну и ту же дугу. На этом основании они одинаковы. 

Чтобы обрисовать четырех угольник окружностью, обязано производиться такое условие, что угол А+ угол С= 180 =Угол В+ угол D

Для решения этой задачки нужно найти, что вокруг треугольников АВD и АСD  можно обрисовать окружность с диаметром АD:sin ABD ( одинаковый синусу АСD). А так как все верхушки четырехугольника лежат на окружности, он - вписан. Доказывать  сумму обратных углов тут нет нужды. 

Обозначим пересечение диагоналей ВД и АС точкой О.Осмотрим ВОА и СОД. Угол АВД=углу АСД по условию. Угол ВОА= углу СОД как вертикальные углы,следовательно,ВОА и СОД- сходственны. Откуда АО/ДО=ВО/СО=ВА/СД. Равенство АО/ДО=ВО/СО правосудно и как АО/ВО=ДО/СО. Осмотрим АОД и ВОС, угол АОД=углу ВОС как вертикальные и есть равенство АО/ВО=ДО/СО как следует треугольники подобны. Поэтому угол ВДА= углу ВСА.