В ABC медианы пересекаются в точке M. Прямая PM пересекает сторону
В ABC медианы пересекаются в точке M. Ровная PM пересекает сторону AB в точке K, сторону AC в точке L, а точка P лежит на продолжении стороны BC за точку C.
Докажите, что 1/MK = 1/ML + 1/MP.
Задача мерцала здесь 8-9 месяцев назад, но её никто так и не решил.
Примечание: использовать аксиому Чевы и Менелая.
1 ответ
Аревкин
Иван
Положим что Z середина стороны BC .
1)Тогда по аксиоме Менелая для треугольника PZM секущая AC получаем CZ/PC*PL/ML*AM/AZ=1 , но AZ медиана , означает AM/AZ=3/2, откуда PL=3ML*PC/(2CZ) , значит PM=PL+ML=ML*(3PC+2CZ)/(2CZ) (*1)
2)По теореме Менелая для треугольника BKP секущая AZ получаем BZ/PZ*PM/MK*AK/AB=1
Либо , что тоже самое что
CZ/(PC+CZ) * PM/MK * AK/AB = 1
Откуда MK=PM*(CZ/(PC+CZ))*(AK/AB) (*2)
Выразим соотношение AK/AB через PC и CZ .
3) По той же аксиоме для треугольника ABC , секущая PK получаем BK/AK * (AL/CL) * (PC/(PC+2CZ)) = 1 .
Но (1/2)*(AL/CL)*PC/(PC+CZ)=1 (аксиома Менелая для треугольника ACZ) откуда AL/CL=2(PC+CZ)/PC .
Означает BK/AK=(PC+2CZ)/(2PC+2CZ) , откуда AK/AB=2(PC+CZ)/(3PC+4CZ) .
4) Подставляя (*2) получаем
MK=ML(3PC+2CZ)/(3PC+4CZ) (*3)
5) Из (*1) а конкретно PM=ML*(3PC+2CZ)/(2CZ) по условию нужно обосновать что 1/ML+1/MP=1/MK подставим
1/ML+2CZ/(ML*(3PC+2CZ)) = (3PC+4CZ)/(ML*(3PC+2CZ))= 1/MK
Откуда MK=ML(3PC+2CZ)/(3PC+4CZ)
А это и есть (*3) доказанная ранее.
1)Тогда по аксиоме Менелая для треугольника PZM секущая AC получаем CZ/PC*PL/ML*AM/AZ=1 , но AZ медиана , означает AM/AZ=3/2, откуда PL=3ML*PC/(2CZ) , значит PM=PL+ML=ML*(3PC+2CZ)/(2CZ) (*1)
2)По теореме Менелая для треугольника BKP секущая AZ получаем BZ/PZ*PM/MK*AK/AB=1
Либо , что тоже самое что
CZ/(PC+CZ) * PM/MK * AK/AB = 1
Откуда MK=PM*(CZ/(PC+CZ))*(AK/AB) (*2)
Выразим соотношение AK/AB через PC и CZ .
3) По той же аксиоме для треугольника ABC , секущая PK получаем BK/AK * (AL/CL) * (PC/(PC+2CZ)) = 1 .
Но (1/2)*(AL/CL)*PC/(PC+CZ)=1 (аксиома Менелая для треугольника ACZ) откуда AL/CL=2(PC+CZ)/PC .
Означает BK/AK=(PC+2CZ)/(2PC+2CZ) , откуда AK/AB=2(PC+CZ)/(3PC+4CZ) .
4) Подставляя (*2) получаем
MK=ML(3PC+2CZ)/(3PC+4CZ) (*3)
5) Из (*1) а конкретно PM=ML*(3PC+2CZ)/(2CZ) по условию нужно обосновать что 1/ML+1/MP=1/MK подставим
1/ML+2CZ/(ML*(3PC+2CZ)) = (3PC+4CZ)/(ML*(3PC+2CZ))= 1/MK
Откуда MK=ML(3PC+2CZ)/(3PC+4CZ)
А это и есть (*3) доказанная ранее.
Кирюха Праведнов
Вау, спасибо громадное! Буду разбирать ваше подтверждение.
, оставишь ответ?
Похожие вопросы
-
Вопросы ответы
Новое
NEW
Статьи
Информатика
Статьи
Последние вопросы
Игорь 14 лет назад был на 8 лет моложе, чем его
Математика.
Два тела массами m1 и m2 находящие на расстоянии R друг
Физика.
В сосуде 4целых одна пятая литр воды что бы заполнить сосуд
Математика.
Двум малярам Диме И Олегу поручили выкрасить фасад дома они разделили
Разные вопросы.
найти порядковый номер 41Э если в ядре 20 нейтронов
Разные вопросы.
в ряду натуральных чисел 3, 8, 10, 24, … 18 одно
Математика.
Предприятие по производству с/хоз продукции на производство затратило 3527000 руб Валовый
Разные вопросы.
Математика, задано на каникулы. ВАРИАНТ 1004
НОМЕР 1,2,3,4,5,6,7,8.
Математика.
Имеются три конденсатора емкостью С1=1мкФ, С2=2мкФ и С3=3мкФ. Какую наименьшую емкость
Физика.
Из точки м выходят 3 луча MP MN и MK причём
Геометрия.
Облако тегов