В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC.
Окружность проходит через точки C и D и дотрагивается прямой AB в точке E.
Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD=8, BC=4.

Есть 4 варианта расположения трапеции и окружности при данных
ВС и АD. (Представлены на рисунках).
Для всех 4 решение и результат одинаковы:
Разыскиваемое расстояние - это перпендикуляр EF к прямой CD.
По условию ВС - средняя линия треугольника ADS.
DC=SC, AB=BS. SD=2DC. Тогда по свойству касательной и секущей из
одной точки к окружности имеем:
SE = SD*SC = 2DC  или
SE = CD2.
Прямоугольные треугольники HDC и FES сходственны по острому углу lt;S=lt;C (так как НС параллельна AS).
Из подобия треугольников имеем:
EF/DH = SE/CD  =gt; EF = DH*SE/CD.
EF=4CD2/CD = 42.
Либо так:
EF=SE*Sin(lt;ESF) =SE*Sin(lt;DCH).
lt;ESF=lt;DCH = (соответствующые углы в сходственных треугольниках)
= SE*Sin
Sin=HD/DC.
EF = SE*HD/CD.
Или так:
EF=SE*Cos(lt;SEF) =SE*Cos(lt;FDA).
lt;SEF=lt;FDA = (соответственные углы в подобных треугольниках)
= SE*Cos
Cos=HD/DC.
EF = SE*HD/CD.
Все эти варианты, в принципе, одно и то же.
Ответ: EF= 42.

Так как решение при всех вариантах расположения окружности и
трапеции идиентично, можно привести решение сходственных задач в общем
виде для различных значений ВС и AD.
Решение.
Пусть ВС= а, AD=b. ADgt;BC.
Прямоугольные треугольники HDC и FES сходственны по острому углу
lt;S=lt;C (так как НС параллельна AS). Из подобия имеем:
EF/HD = SE/CD  =gt; EF = DH*SE/CD.
Как следует, чтоб отыскать EF, надобно выразить DH, SЕ и CD через
основания трапеции ВС и AD.
DH=AD-BC = (b-a) (по условию).
Прямоугольные треугольники ASD и BSC сходственны по общему острому углу
lt;S. Коэффициент подобия равен k=ВC/AD=a/b. Тогда
SC=CD*a/(b-a).
SD=SC+CD = CD*(a/(b-a)+CD = CD(a/(b-a) +1)= CD*b/(b-a).
По свойству касательной и секущей из одной точки к окружности имеем:
SE = SD*SC.
SE = SD*SC=CD*b/(b-a))*CD*a/(b-a) = CD*a*b/(b-a).
SE = CD*(a*b)/(b-a).
EF=(b-a)*CD*(a*b)/((b-a)*CD) = (a*b).
Ответ: расстояние от точки Е до прямой CD одинаково (ВС*AD) для всех значений ВС и AD.
ЕF=(ВС*AD).

P.S. для нашего варианта ответ:
ЕF= (4*8) = 42.