Характеристики и признаки паралельных прямых (1-3) c подтверждением

Две прямые на плоскости именуются параллельными, если они не пересекаются. Обозначается это так: .

Рис. 1

Отрезки AB и CD, лежащие на параллельных прямых, именуются параллельными.

Лучи, лежащие на параллельных прямых, также называются параллельными.

Задумаемся, неужели а и b нигде не пересекутся? И есть ли такие прямые? Ведь а и b не ограничены. И в примыкающей комнате не пересекутся? И на луне?

Оказывается, такие прямые существуют.

Мы доказывали, что перпендикулярная ровная а к прямой с и перпендикулярная ровная b к прямой с нигде не пересекаются (Рис. 2).

Рис. 2

То есть две перпендикулярные прямые к одной и той же третьей прямой нигде не пересекутся. Оказывается, для этих прямых есть термин.

.

2. Накрест лежащие углы, однобокие и соответствующые углы

Осмотрим важную геометрическую конструкцию, в которой две прямые а и bрассекаются прямой с (Рис. 3).

Рис. 3

с  секущая а и b. Это значит, что она пересекает и а, и b.

Появляется много углов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).

Эти углыназываются:

- накрест лежащие углы: , ;

- однобокие углы: , ;

- соответствующые углы: , , , .

  смежные углы.

  вертикальные углы.

3. Признаки параллельности прямыx

Сформулируем и докажем 1-ый признак параллельности прямых.

Если при скрещении 2-ух прямых секущей накрест лежащие углы одинаковы, то прямые параллельны.

Итак, даны две прямые а и b. Ровная АВ рассекает эти прямые и  (Рис. 4).

Рис. 4

Докажем, что .

Доказательство:

Рис. 5

Возьмем середину отрезка АВ точку О и опустим перпендикуляр ОН на прямую а. Получим точку Н. Получим отрезок АН. Отложим от точки В по прямой b отрезок, равный длине отрезка АН. Получим точку , причем .

Имеем два треугольника  и . Эти треугольники одинаковы по первому признаку (то есть по двум граням и углу между ними): (по условию), (по построению), ОА = ОВ (по построению).

Из равенства треугольников следует, что . А значит  это продолжение ОН, то есть точки О, Н и  лежат на одной прямой.

Также . Означает, ровная Н перпендикулярна к прямой b.

Итак, мы имеем, что , . А означает, , что и требовалось обосновать.

Второй признак параллельности прямых

Если при пересечении 2-ух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Имеем: а, b, с  прямые; с  секущая,.

Рис. 6

Подтверждение:

Означает, .

Применим первый признак параллельности прямых и получим, что .

Третий признак параллельности прямых

Если при скрещении 2-ух прямых секущей сумма однобоких углов одинакова 180, то прямые параллельны.

Имеем: а, b, с  прямые; с  секущая, (Рис. 7).

Рис. 7

Доказательство:

Означает,  .

Применим 1-ый признак параллельности прямых и получим, что .

4. Решение задач

Признаки параллельности прямых употребляются для решения различных задач.

Осмотрим пример:

а, b, с  прямые; с  секущая,,  (Рис. 8)

Рис. 8

Сведем к одному из признаков параллельности прямых.

Как следует,. По третьему признаку параллельности прямых.

На этом уроке мы осмотрели понятие параллельных и прямых и разобрали признаки параллельности прямых, выучились их использовать. На следующем занятии мы разберем свойства параллельных прямых.

 

Перечень рекомендованной литературы

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. М.: Просвещение.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5 изд. М.: Просвещение.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. М.: Просвещение, 2010.