Даны точки A(2;3), B(4;8), C(9;6), D(7;1). Обосновать что ABCD квадрат.

Докажем, что все стороны одинаковы и что все углы равны по 90.
AB = (4 - 2; 8 - 3) = (2; 5)

BC = (9 - 4; 6 - 8) = (5; -2)

CD = (7 - 9; 1 - 6) = (-2; -5)

AD = (7 - 2; 1 - 3) = (5; -2)

AB*BC = 2*5 + 5*(-2) = 10 - 10 = 0
=gt; угол между AB и BC равен 90.

BC*CD = 5*(-2) + (-2)*(-5) = -10 + 10 = 0
=gt; угол меж BC и CD равен 90.

CD*AD = -2*5 + (-5)*(-2) = -10 + 10 = 0
=gt; угол меж CD и AD равен 90

AB*AD = 2*5 + 5*(-2) = 10 - 10 = 0
=gt; угол между AB и AD равен 90.

Получили, что все углы равны 90 и все стороны одинаковы.
Четырехугольник -- квадрат, что и требовалось обосновать.