Площадь прямоугольного треугольника равна 11, а периметр 22.Найдите длину вышины

Катеты a, b

Гипотенуза с

Вышина к гипотенузе h

--- 1 ---

Площадь через катеты

S = 1/2*a*b = 11

a*b = 22

--- 2 ---

Гипотенуза по т. Пифагора

c = a + b

--- 3 ---

Периметр

P = a + b + c = 22

c = 22 - a - b

c = a + 2ab - 44a + b - 44b + 484

вычтем отсюда выражение для гипотенузы по т. Пифагора

0 = 2ab - 44a - 44b + 484

ab - 22a - 22b + 242 = 0

Вычтем сейчас выражение из пт 1 для площади

- 22a - 22b + 220 = 0

- a - b = - 10

a + b = 10

b = 10 - a

--- 4 ---

Сейчас опять выражение для площади из пт 1

ab = 22

a(10 - a) = 22

-a + 10a - 22 = 0

a - 10a + 22 = 0

Решаем квадратное ур-е

a = (10 - (100 - 4*22))/2 = (10 - 12)/2 = 5 - 3

a = (10 + (100 - 4*22))/2 = (10 + 12)/2 = 5 + 3

Оба решения подходят, но в силу симметрии уравнений по a и b являются просто перестановкой этих 2-ух переменных

Итак, катеты a = 5 - 3, b = 5 + 3

--- 5 ---

Гипотенуза

c = a + b = (5 - 3) + (5 + 3) = 25 - 103 + 3 + 25 + 103 + 3 = 56

c = 56 = 214

--- 6 ---

Площадь через гипотенузу и вышину к ней

S = 1/2*c*h = 11

c*h = 22

214*h = 22

h = 11/14 = 1114/14