Три шара дотрагиваются меж собой и плоскостей двугранного угла. На одной

треугольник прямоугольный

стороны его 3 4 5

красивая задача. Решил, но на оформление нужно время.

подождем)

что то длинно, радиусы у шаров 1 2 3

Да-да, у меня тоже вышло 1-2-3, но это если треугольник 3-4-5 не в точках касания, а в центрах шаров.В прошлый раз решал, в конце вышел угол не тангенс, а синус, 2*arcsin(193/24), само решение не записал, только ответ...

Коварный треугольник со стороной 5 ни что другое, как египетский треугольник со гранями 3, 4, 5.

Т, Т, Т точки касания шаров исходной плоскости

U, U, U точки касания шаров 2-ой плоскости

O, O, O центры шаров

Пусть расстояние 3 меж точками касания шаров r и r, расстояние 4 меж шарами r r, расстояние 5 меж шарами r r

Рисунок 1 - вид сверху на плоскость с точками касания шаров. Красноватыми окружностями показаны вычисленные радиусы шаров

----------------------------------------

Осмотрим прямоугольную трапецию TTOO (набросок 2), интеллигентную точками касания 2-ух шаров и их центрами. Основания этой трапеции радиусы шаров, наклонная боковая сторона сумма радиусов,

OO = r + r

боковая сторона с прямыми углами это сторона начального треугольника.

TT = 3

Проекция наклонной боковой стороны на основание равна разнице радиусов шаров r - r

По т. Пифагора для прямоугольных треугольников в каждой из трёх таких трапеций

(r r) +3 = (r + r)

(r r) +4 = (r + r)

(r r) +5 = (r + r)

r - 2*r*r + r + 9 = r + 2*r*r + r

r - 2*r*r + r + 16 = r + 2*r*r + r

r - 2*r*r + r + 25 = r + 2*r*r + r

4*r*r = 9

4*r*r = 16

4*r*r = 25

из второго

r = 4/r

подставим в первое и третье

4*4/r*r = 9

4*r*r = 25

Перемножим

4*4*4*r = 9*25

8*r = 3*5

r = 15/8

подставим в 1-ое

4*r*15/8 = 9

r = 6/5

и подставим в третье

4*15/8*r = 25

r = 10/3

Радиусы шаров определены.

Между пересекающимися плоскостями шары располагаются так, что наименьший шар r1 поближе всего к полосы пересечения, средний шар r2 далее, и наивеличайший ещё дальше r3

Для трапеции из прошлого пт TTOO продолжим наклонную боковую сторону OO до линии скрещения плоскостей. (набросок 3)

x = ТK расстояние от точки касания наименьшего шара до линии пересечения плоскостей по прямой,

Из подобия TOK и TOK

x/r = (x+3)/r

x*r = (x+3)*r

x*15/8 = x*6/5 + 18/5

x*(75 48)/40 = 18/5

27x = 18*8

3x = 16

x = 16/3

KT = 16/3

Подобно для шаров r r осмотрим трапецию ТTOO и TOL, TOL (рисунок 4)

x/r = (x+4)/r

x*r = (x+4)*r

x*10/3 = x*6/5 + 24/5

x*(50 18)/15 = 24/5

32/15*x = 24/5

4/3*x = 3

x = 9/4

LT = 9/4

----------------------------------------------

Найдём вышину треугольника KLT

Гипотенуза по т. Пифагора

KL = KT + LT = (9/4) + (16/3) = 4825/144 = 25/144 * 193

KL = 5/12*193

Площадь через катеты одинакова площади через гипотенузу и высоту к ней

9/4*16/3 = MT*5/12*193

3*4 = MT*5/12*193

MT = 144/5/193

----------------------------------------

Теперь перейдём в секущую плоскость OTM (набросок 5)