Дам 60 баллов (!)за светлый обоснованный ответ(!), Геометрия, 9 класс.Я отыскала

Дело было  так

1)Опускаем вышину в треугольнике, не важно какую, он верный

получаем треугольник ABH, где угол H = 90, A=60, B=30

сейчас по аксиоме синусов обретаем саму вышину

h/sin60=a/sin90;

h=a*sin60=a*(3/2)

2)Радиус вписанно можно найти отсюда же, опускаем вторую вышину. Т.к. треугольник правильный, эта высота так же является и медианой, и соответственно скрещением они делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины, то есть мы просто разделяем h на 3

r=h/3=a*(3/6)

3)Радиус описанной так же отсюда

только она составляет не треть, от вышины, а две трети

R=h*2/3=a*(3/3)