Даны координаты вершин пирамиды АВСД. А(5;-1;4), В (9;3;-6), С (7;10;-14), Д

1) Координаты векторов обретаем по формуле:  

X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi  

тут X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;  

К примеру, для вектора АВ

X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1  

X = 9-5; Y = 3-(-1); Z = -6-4  

АВ(4;4;-10),     АС(2;11;-18),     АД(0;2;-7).

2) Угол а между векторами АВ и АС равен.

Модули: АВ =(16 + 16 + 100) = 132 = 233.

               АС = (4 + 121 + 324) = 449  

cos a = (4*2 + 4*11 + (-10)*(-18))/(132*449) = (8 + 44 + 180)/(59268) = 232/243,4502 = 0,952967.

а = arc cos 0,952967 = 0,307917 радиан = 17,642339 градуса.

3) Проекция вектора АД на вектор АВ.

Решение:  Пр ba =  (a b)/b.

Найдем скалярное творенье векторов:

a b = ax bx + ay by + az bz = 0 4 + 2 4 + (-7) (-10) = 0 + 8 + 70 = 78

Модуль вектора b = АВ определён и равен 132 = 233.

Пр ba =  78/(233) =  1333 / 11   6.78903.

4) Площадь грани АВС одинакова половине модуля векторного творенья векторов АВ и АС.

Векторное произведение:  

i j k

4 4 -10

2 11 -18

=  i(4(-18)-11(-10)) - j(4(-18)-2(-10)) + k(4*11-2*4) = 38i + 52j + 36k.

S = (1/2)(38 + 52 + 36) = (1/2)(1444 + 2704 + 1296) =                            5444   36,89173.

5) Объем пирамиды АВСД равен (1/6) смешанного творения векторов (АВ х АС) х АД.

(АВ х АС) =  (38; 52; 36), АД(0;2;-7) - определено выше.

(АВ х АС) х АД = 38*0 + 52*2 + 36*(-7) = 148

S = (1/6)*148 = 24,6667.