Длина вышины правильной треугольной пирамиды SABC ( S - верхушка) в

Эту задачу можно решить двумя методами: векторным и геометрическим.

1) Примем длину ребра основания пирамиды  одинаковой 2.

Поместим пирамиду верхушкой В в начало, стороной ВА по оси Оу.

Определяем координаты точек B и D для вектора  BD и точек S, C и К для плоскости, проходящей через ребро SC и середину ребра AB. Здесь точка К - середина ребра АВ.  

В(0; 0; 0).  Координаты точки D. Основание апофемы через точку D - пусть это точка М. ВМ - это высота основания h = a3/2 = 23/2 = 3.

Точка D проецируется на основание (D1) как середина ОМ = (1/3)h.

Отрезок ВD1 = (2/3)h+ ((1/3)h/2) = 5h/6 = 53/6.

Раскладываем BD1 по осям:

Оx = (53/6)*cos 60 = (53/6)*(1/2) = 53/12,

Оy = (53/6)*cos 30 = (53/6)*(3/2) = 5/4 = 1,25.

Высота пирамиды Н(S) = 2*(5/6) = 10/6.

Вышина точки D равна половине, то есть 5/6.

Точка D(53/12; 1,25; 5/6). Это же значение вектора BD.

Точка С(3; 1; 0). Точка S(3/3; 1; 10/6). Точка К(0; 1; 0).

Плоскость SCK параллельна плоскости xOz, её уравнение по трём точкам: 0x - 7,071067812y + 0z + 7,071067812 = 0.

Устремляющий вектор прямой имеет вид:  s = l; m; n  

Вектор нормали плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет вид n (A; B; C).

Скалярное творенье  n x s = -8,838834765.

Модуль вектора BD = s = (0,721687836 + 1,25 + 2,041241452) = 2,5.

Модуль вектора n = 7,071067812.

Синус искомого угла равен:

sin = абс(n x s)/(s*n) = 0,5.

Угол равен 30 градусов.