Около прямоугольного треугольника АВС описана окружность. Расстояние от точки А до

1. Пусть центр окружности - точка О. Если провести радиус ОС, то ОСАВ, пусть ОС =а.

Тогда ААОС, как два перпендикуляра к одной прямой АВ, а так как АО=ОВ, то по аксиоме Фалеса АС= СВ, но тогда в трапеции АВВА   ОС - средняя линия, а она, как известно, равна полусумме оснований АА и ВВ. Если обозначить ВВ=х, то АА=3х, тогда средняя линия ОС=(х+3х)/2=

2х.

2.  Продолжим АВ до скрещения с АВ в точке, к примеру, Т.     Осмотрим сходственные треугольники ТВВ и ТОС, в их угол Т-общий, углы при верхушках В и С прямые.  Составим пропорцию. ТВ/ТО= ВВ/ОС,

но т.к. ВВ=х, а ОС=2х, то отношение это равно 1/2, т.е. ТО в два раза больше ТВ, В - середина отрезка ТО. Означает, и ТВ одинаково радиусу 2х.

3. По свойству касательной и секущей ТС=ТВ*ТА, 2х*3*2х. Т.е ТС=,  12х

4. Отношение ТС/ОС рано тангенсу угла ТОС и это отношение одинаково (Корень из 12х в квадрате)/2х =(2хкорень из 3)/2х= корень из 3-х. Но это тангенс 60 градусов.

5. Углы ВАС и ВОС опираются на одну и ту же  дугу, угол ВАС вписанный в окружность, а угол ВОС -центральный  угол, означает, угол ВАС равен половине угла ВОС, угол ТОС=углу ВОС=60градусов. Как следует, разыскиваемый угол ВАС равен половине центрального. т.е. 30 градусов.

ОТвет 30 градусов

Фортуны. Спасибо за прекрасные задачки.)