Докажите,что если диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то середины его сторон являются верхушками

Рассмотрим треугольники ABC и MBN. Угол B у их является общим. Так как AM=MB, AB=2MB, то AB:MB=2:1. Аналогично обретаем, что BC:BN=2:1. Если две стороны 1-го треугольника пропорциональны двум сторонам иного треугольника, а углы, заключенные меж этими гранями, одинаковы, то такие треугольники сходственны. AC:MN=2:1. Так как ABC и MBN подобны, то одинаковы их соответствующие углы, т.е. углы BAC и BMN одинаковы. Для двух прямых AC, MN и секущей AB углы BAC и BMN являются соответственными, а означает AC параллельна MN. Подобно, осмотрев ADC и PDK, докажем, что AC:PK=2:1 и PKAC. Так как MNAC и PKAC, то MNPK. AC:MN=2:1 и AC:PK=2:1, значит MN=PK. Если две обратные стороны четырехугольника одинаковы и параллельны, то таковой четырехугольник является параллелограммом. MNKP параллелограмм. Так как AC перпендикулярна BD, а MNAC, то MN перпендикулярна BD. Осмотрим AMF и MBH. Они равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Углы AFM и MHB одинаковы и являются прямыми. Осмотрим четырехугольник FMHO. Четырехугольник является параллелограммом, если его обратные углы попарно одинаковы. А так у нас они еще и прямые, то четырехугольник FMHO прямоугольник. В четырехугольнике MNKP угол FMH прямой, MNPK и MN=PK, означает MNKP прямоугольник. Ч.т.д.
http://bit.ly/2kKtzYS