Катет прямоугольного треугольника равен 12 см, а его проекция на гипотенузу

Пусть АВС - прямоугольный треугольник, данный по условию, АВ и АС = 12 см - катеты, ВС - гипотенуза.
Проведем из верхушки А к гипотенузе верхушку АН. Отрезок ВН - это проекция катета АВ на гипотенузу, а отрезок НС = 8 см - проекция катета АС на гипотенузу.
Осмотрим треугольник АНС: АС = 12 см - гипотенуза (так как лежит против угла АНС, который равен 90 градусов, так как АН - вышина, то есть перпендикуляр, опущенный к ВС), НС = 8 см - катет.
Каждый катет треугольника - среднее геометрическое гипотенузы и проекции катета на гипотенузу, то есть:
AC^2 = ВС * НС;
12^2 = ВС * 8;
8ВС = 144;
ВС = 18 см.
В треугольнике АВС знамениты гипотенуза ВС = 18 см, катет АС = 12 см. Найдем второй катет АВ по аксиоме Пифагора:
AB = (BC^2 - AC^2);
AB = (18^2 - 12^2) = (324 - 144) = 180 = 65 (см).
Площадь треугольника АВС одинакова половине творенья его катетов:
S = (AB*AC) / 2;
S = (65*12) / 2 = 365 (см квадратных).
Ответ: S = 365 см квадратных.