1. В треугольнике МPК,вписана окружность, О её центр. Угол М

1. Найдем градусную меру угла Р:
угол М + угол Р + угол К = 180 градусов (по аксиоме о сумме углов треугольника);
50 + угол Р + 70 = 180;
угол Р = 180 - 120;
угол Р = 60 градусов.
Из главных параметров касательных известно, что отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, сочиняют одинаковые углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. То есть отрезки ОМ, ОК и ОР будут являться биссектрисами углов М, К и Р соответственно. Тогда:
угол КМО = угол РМО = угол М / 2 = 50/2 = 25 градусов;
угол МКО = угол РКО = угол К / 2 = 70/2 = 35 градусов;
угол МРО = угол КРО = угол Р / 2 = 60/2 = 30 градусов.
а) Осмотрим треугольник МОК: угол КМО = 25 градусов, угол МКО = 35 градусов. По аксиоме о сумме углов треугольника:
угол КМО + угол МКО + угол МОК = 180 градусов;
25 + 35 + угол МОК = 180;
угол МОК = 180 - 60;
угол МОК = 120 градусов.
б) Осмотрим треугольник РОК: угол РКО = 35 градусов, угол КРО = 30 градусов. По аксиоме о сумме углов треугольника:
угол РКО + угол КРО + угол РОК = 180 градусов;
35 + 30 + угол РОК = 180;
угол РОК = 180 - 65;
угол РОК = 115 градусов.
в) Осмотрим треугольник МОР: угол РМО = 25 градусов, угол МРО = 30 градусов. По аксиоме о сумме углов треугольника:
угол РМО + угол МРО + угол МОР = 180 градусов;
25 + 30 + угол МОР = 180;
угол МОР = 180 - 55;
угол МОР = 125 градусов.
Ответ: угол МОК = 120 градусов, угол РОК = 115 градусов, угол МОР = 125 градусов.
2. Окружность дотрагивается стороны МР в точке А, стороны РК в точке В, стороны МК в точке С. МА = 5 см, РВ = 6 см, КС = 4 см.
Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, одинаковы. Как следует:
МА = МС = 5 см;
РА = РВ = 6 см;
КС = КВ = 4 см.
Найдем длину стороны МР:
МР = МА + РА;
МР = 5 + 6 = 11 (см).
Найдем длину стороны РК:
РК = РВ + КВ;
РК = 6 + 4 = 10 (см).
Найдем длину стороны МК:
МК = МС + КС;
МК = 5 + 4 = 9 (см).
Периметр треугольника МРК равен:
Р = МР + РК + МК;
Р = 11 + 10 + 9 = 30 (см).
Ответ: Р = 30 см.