Снутри выпуклого четырёхугольника площади s взята точка. Найдите площадь четырёхугольника ,

Снутри выпуклого четырёхугольника площади s взята точка. Найдите площадь четырёхугольника , верхушками которого являются точки, симметричные выбранной точке условно середин сторон данного четырёхугольника.

Задать свой вопрос
2 ответа

   Пусть имеем выпуклый четырехугольник ABCD, точка O находится снутри ABCD, а точки P, Q, R и S являются серединами его сторон AB, BC, CD и DA соответственно (http://bit.ly/2iDSTgS).

   Построим точки P1, Q1, R1 и S1, симметричные точке O условно точек P, Q, R и S.

  Треугольники OPQ и OP1Q1

   Осмотрим треугольники OPQ и OP1Q1. Они сходственны, поскольку углы POQ и P1OQ1 совпадают, а стороны пропорциональны:

      P1O : PO = Q1O : QO = 2,

   следовательно, стороны P1Q1 и PQ пропорциональны с таким же коэффициентом:

      P1Q1 : PQ = 2.

   Таким же образом можем обосновать, что

      Q1R1 : QR = R1S1 : RS = S1P1 : SP = 2.

  Четырехугольники PQRS и P1Q1R1S1

   Так как четырехугольники PQRS и P1Q1R1S1 состоят из четырех сходственных треугольников, то они тоже сходственны с таким же коэффициентом пропорциональности: 2. Из этого следует:

      SP1Q1R1S1 = 4 * SPQRS.

   Так же можем обосновать, что треугольники ABC и PBQ, BCD и QCR, CDA и RDS, DAB и SAP, входящие в состав четырехугольника PQRS, тоже сходственны.

  Вычисление площади

   Обозначим:

      SSAP = a; SPBQ = b; SQCR = c; SRDS = d.

   Тогда:

      SDAB = 4a; SABC = 4b; SBCD = 4c; SCDA = 4d.

   Поэтому можем составить уравнения:

      SABCD = SABC + SCDA = 4b + 4d = 4(b + d);

      SABCD = SDAB + SBCD = 4a + 4c = 4(a + c).

   Отсюда следует, что:

      b + d = a + c;

      SABCD = 2 * (a + b + c + d) = s;

  • SPQRS = SABCD - (SSAP + SPBQ + SQCR + SRDS);
  • SPQRS = 2 * (a + b + c + d) - (a + b + c + d);
  • SPQRS = a + b + c + d = 1/2 * s.

   А для площади четырехугольника SP1Q1R1S1 получим:

      SP1Q1R1S1 = 4 * SPQRS = 4 * 1/2 * s = 2s.

   

   Ответ: 2s.

 

 http://bit.ly/2i9qPAS

 Дано: АВСD четырехугольник

SАВСD = S

О внутри АВСD

точки N, P, K, M симметричны относительно сторон BC, CD, AD, AB.

Отыскать: SMNPK

 Решение:

Площадь четырёхугольника с верхушками в серединах сторон данного выпуклого четырёхугольника в два раза меньше площади данного четырёхугольника

Так как F1, F2, F3, F4 середины ON, OP, OK и ОМ,

при этом ON ^ BC, OP ^ CD, OK ^ AD, OM ^ AB, то

SMON = 2SBF1OF4;

SNOP = 2SCF1OF2;

SPOK = 2SDF2OF3;

SMOK = 2SAF3DF4.

Такимобразом

SMNPK = 2SBF1OF4 + 2SCF1OF2 + 2SDF2OF3 + 2SAF3DF4 = 2SАВСD

То есть SMNPK = 2S

 Ответ: SMNPK = 2S

, оставишь ответ?
Имя:*
E-Mail:


Добро пожаловать!

Для того чтобы стать полноценным пользователем нашего портала, вам необходимо пройти регистрацию.
Зарегистрироваться
Создайте собственную учетную запить!

Пройти регистрацию
Авторизоваться
Уже зарегистрированны? А ну-ка живо авторизуйтесь!

Войти на сайт