Снутри выпуклого четырёхугольника площади s взята точка. Найдите площадь четырёхугольника ,
Снутри выпуклого четырёхугольника площади s взята точка. Найдите площадь четырёхугольника , верхушками которого являются точки, симметричные выбранной точке условно середин сторон данного четырёхугольника.
Задать свой вопросПусть имеем выпуклый четырехугольник ABCD, точка O находится снутри ABCD, а точки P, Q, R и S являются серединами его сторон AB, BC, CD и DA соответственно (http://bit.ly/2iDSTgS).
Построим точки P1, Q1, R1 и S1, симметричные точке O условно точек P, Q, R и S.
Треугольники OPQ и OP1Q1
Осмотрим треугольники OPQ и OP1Q1. Они сходственны, поскольку углы POQ и P1OQ1 совпадают, а стороны пропорциональны:
P1O : PO = Q1O : QO = 2,
следовательно, стороны P1Q1 и PQ пропорциональны с таким же коэффициентом:
P1Q1 : PQ = 2.
Таким же образом можем обосновать, что
Q1R1 : QR = R1S1 : RS = S1P1 : SP = 2.
Четырехугольники PQRS и P1Q1R1S1
Так как четырехугольники PQRS и P1Q1R1S1 состоят из четырех сходственных треугольников, то они тоже сходственны с таким же коэффициентом пропорциональности: 2. Из этого следует:
SP1Q1R1S1 = 4 * SPQRS.
Так же можем обосновать, что треугольники ABC и PBQ, BCD и QCR, CDA и RDS, DAB и SAP, входящие в состав четырехугольника PQRS, тоже сходственны.
Вычисление площади
Обозначим:
SSAP = a; SPBQ = b; SQCR = c; SRDS = d.
Тогда:
SDAB = 4a; SABC = 4b; SBCD = 4c; SCDA = 4d.
Поэтому можем составить уравнения:
SABCD = SABC + SCDA = 4b + 4d = 4(b + d);
SABCD = SDAB + SBCD = 4a + 4c = 4(a + c).
Отсюда следует, что:
b + d = a + c;
SABCD = 2 * (a + b + c + d) = s;
- SPQRS = SABCD - (SSAP + SPBQ + SQCR + SRDS);
- SPQRS = 2 * (a + b + c + d) - (a + b + c + d);
- SPQRS = a + b + c + d = 1/2 * s.
А для площади четырехугольника SP1Q1R1S1 получим:
SP1Q1R1S1 = 4 * SPQRS = 4 * 1/2 * s = 2s.
Ответ: 2s.
Дано: АВСD четырехугольник
SАВСD = S
О внутри АВСD
точки N, P, K, M симметричны относительно сторон BC, CD, AD, AB.
Отыскать: SMNPK
Решение:
Площадь четырёхугольника с верхушками в серединах сторон данного выпуклого четырёхугольника в два раза меньше площади данного четырёхугольника
Так как F1, F2, F3, F4 середины ON, OP, OK и ОМ,
при этом ON ^ BC, OP ^ CD, OK ^ AD, OM ^ AB, то
SMON = 2SBF1OF4;
SNOP = 2SCF1OF2;
SPOK = 2SDF2OF3;
SMOK = 2SAF3DF4.
Такимобразом
SMNPK = 2SBF1OF4 + 2SCF1OF2 + 2SDF2OF3 + 2SAF3DF4 = 2SАВСD
То есть SMNPK = 2S
Ответ: SMNPK = 2S
-
Вопросы ответы
Статьи
Информатика
Статьи
Физика.
Математика.
Разные вопросы.
Разные вопросы.
Математика.
Разные вопросы.
Математика.
Физика.
Геометрия.
Разные вопросы.